Schaltungen analysieren, entwickeln
Eine Hauptfrage, die sich eigentlich jeder Elektroniker stellt ist, wie man Schaltungen am besten versteht, analysiert und am besten selber entwickelt? Gerade da hilft einen der Schaltungssimulator nur ein wenig. Immerhin kann man sich z.B. die Eingangs- und Ausgangsignale ansehen, oder auch Zwischenknoten und interne Ströme. Was dann passiert, wenn man die Schaltung der Elementevariation verbessern möchte, kann man durch Parametersweeps ausprobieren. Leider ist das nicht sehr effektiv - bei oft Dutzenden von Elementen - und dann wären wieder Berechnungsformeln praktisch, auch um z.B. eine Schaltung auf eine bestimmte Versorgungsspannung oder Frequenzbereich anzupassen. Der Nachteil hier ist allerdings, dass reale Schaltungen eben allzu oft so komplex sind, das man mit einfachen Formeln eben kaum noch auskommt, bzw. diese nur Näherungslösungen anbieten. Ausserdem so richtig anschaulich sind Formel ja auch nicht immer!

Das Problem

Ein Gebiet, bei dem man mit allzu idealisierten Annahmen nicht weit kommt ist die Hochfrequenztechnik. Hier spielen die Nichtidealitäten der Bauelemente eine wesentliche Rolle, wie z.B. die Serieninduktivitäten von Widerständen oder Kapazitäten oder die Verluste in Spulen. Aber auch Transistoren sind ja keineswegs ideal, z.B. ist die Stromverstärkung stark frequenzanhängig.
Die Frage stellt sich, ob es nicht etwas dazwischen gibt, zwischen Rechnen mit Überschlagsformeln und einer SPICE-Simulation? Die Antworten sind vielfältig - früher hat man nichtlineare Schaltungen z.B. oft mit Kennlinien berechnet. Beispielsweise kann man einen DC-Transistorarbeitspunkt durch den Schnittpunkt der Transistorkennlinien mit der Arbeitsgerade ermitteln, so gibt es eine ganze Reihe Spezialtechniken, die heutzutage gar nicht mehr so häufig eingesetzt werden - dank PC, Simulator, Faulheit und PDF-Format!

Die Lösung
Ein Werkzeug jedoch ist in verbesserter Form - als PC-Programm - immernoch erstaunlich hilfreich und universell - das Smith-Diagramm! Die Beschreibung erfolgt nun hier, mitsamt vielen Beispielen. Normalerweise tun das ja auch Bücher recht gut, aber wenn man das Wissen dann anwenden muss, dann sieht man, dass sich manches doch nur einfach anhört - wer hat das als Schüler oder Student nicht erlebt. Deshalb soll das Smith-Diagramm hier in der Theorie aber eben auch interaktiv vorgestellt werden. Als Software wird dabei CSmith verwendet - exklusiv für Franzis erweitert und mit deutscher integrierter Programm-Hilfe, sowie einem deutschem Handbuch mit weiterer Hintergrundinformation zu Themen wie Leitungen, komplexen Zahlen, Anpassschaltungen, Vierpol-Parametern usw.

Umgang mit dem Programm

Grob kann man sich das Smith-Diagramm so vorstellen, dass man damit Serien- und Parallelschaltungen berechnen kann - ganz ähnlich als wenn man R=R1+R2 graphisch durch Aneinandersetzen von Strecken berechnen würde (siehe Handbuch - Komplexe Zahlen). Glücklicherweise kann man sich recht viele Schaltungen als Kettenschaltungen von Elementen vorstellen - also eine recht universelle Methode! Nachteil der Streckenmethode ist, dass Widerstände leider sehr klein oder sehr gross sein können, man müsste also mit einem riesigen Blatt Papier arbeiten und dann auch noch sehr genau. Einfacher wäre eine normierte Arbeitsfläche. Ebenfalls zu lösen ist das Problem von Kapazitäten und Induktivitäten, hier gilt ja Zges=R+jX mit z.B. X=-1/C. Man addiert also die Widerstände R direkt und im 90-Grad-Winkel dazu die Blindanteile X. j ist die imaginäre Einheit, d.h. j2=-1. Das Verhältnis X/R wird meist als Güte Q der Last bzw. Quelle bezeichnet.
Genau so hat 1939 auch Phillip H. Smith das Problem gelöst, und ist dazu auf ein kreisförmiges Diagramm ausgewichen. Die Umrechnung von Geraden zu Kreisen wird dabei genau mit der selben Formel gemacht, die auch für die Berechnung des Reflexionsfaktors r verwendet wird.

r = (Z - ZL) / (Z + ZL) = (Z/ZL -1) / (Z/ZL + 1)
ZL=Wellenwiderstand, meist 50Ohm

r ist bei Leitungen und generell in der HF-Technik sehr wichtig - aber keinesfalls nur in der HF-Welt!
Im Allgemeinen Fall ist der Reflexionsfaktor r eine komplexe Zahl und liegt bei Impedanzen mit positiven Realteil (alle passiven Elemente) betragsmäßig immer zwischen Null und eins.

Beispiele:

1. Z=0 (Kurzschluss) => r = -1
2. Z=ZL (optimale Anpassung) => r = 0

Häufig quantifiziert man r auch in Dezibel (Rückflussdämpfung, englisch return loss, 20log|r|). Wenn man alle passiven Impedanzen graphisch darstellen will, so würde im direkten Fall eine unendliche Ebene benötigt werden, während beim Reflexionsfaktor r nur ein Einheitkreis (Radius=1) verwendet werden muß.
Ein wichtiger Grund warum r so interessant ist, ist das ein verlustloses Netzwerk die Energie am Eingang entweder transmittieren kann oder reflektieren. Für den Transmissionsfaktor t gilt dabei t2=1-r2. Wenn man also r kennt, kann man die Transmission t berechnen inkl. z.B. dessen Frequenzgang. Wenn r=0 wird, wird t maximal - und genau das möchte man oft erreichen! Wenn man z.B. |r|=0.3 (10.45dB return loss) noch akzeptiert, dann entspricht dies einem Verlust von 9% (0.41dB). Dies hört sich nicht so schlimm an, aber bei Leistungsstufen oder mit genauen Filtern muss man oft bessere Werte erzielen, zumal Produktionstoleranzen alles noch verschlechtern können und bei der Hintereinanderschaltung sich Fehler noch weiter addieren können.
Bei tieferen Frequenzen kann man sich oft Fehlanpassungen erlauben. Hier sind die Transistoren billiger, so dass man den Verstärkungsverlust durch Fehlanpassung leicht durch eine weitere Stufe kompensieren kann, bei HF dagegen sind oft Spannungsüberhöhungen, Rauschverluste usw. viel kritischer. Wo HF anfängt? Dies hängt von der Technologie ab. Wenn die Abmessungen in die Grössenordnung von /10 kommen, kommen HF-Techniken zum Zuge. Oft die HF-IC-Schaltungen intern noch NF-Verstärkern sehr ähnlich, aber z.B. bewirken die Gehäuseelemente dann oft schon merkliche Impedanztransformationen.

In der Z-Ebene addiert man Real- und Blindwiderstände entlang der Linien mit konstantem Real- bzw. Imaginärteils, deshalb sind auch im Smith-Diagramm bereits die Linien mit konstantem Real- bzw. Imaginärteil von Z eingezeichnet, so daß die Impedanzen leicht ablesbar sind und nicht von Hand umgerechnet werden müssen - nur sind diese Linien hier Kreise!

Mit einiger Übung (etwas später!) kann man mit dem Smith-Diagramm durch Aneinandersetzen von Kreisbögen auch leicht Schaltungen mit Spulen, Kondensatoren, Leitungen etc. selber entwerfen und berechnen. Wenn man das Diagramm spiegelt (r wird zu -r), dann erhält man die Leitwertdarstellung mit Linien Re bzw. Im(Y)=const! Leichter wird alles, wenn man ein PC-Programm statt eines Diagramms auf Papier verwendet, damit reduziert sich der Einarbeitungsaufwand - und die Fehlerquote! - erheblich.
Im Prinzip ist das Smith-Diagramm nichts anderes ein Polardiagramm für den Reflexionsfaktor r, bei dem zusätzlich ein Netz mit den Linien für konstanten Real- und Imaginärteil der Impedanz Z eingetragen wurde. Die Linien |r|=konst sind natürlich konzentrische Kreise um den Ursprung, während die für Re(Z) oder Im(Z)=konst zunächst willkürlich anmutend gekrümmt sind. Da jedoch die Transformation r = (Z - ZL) / (Z + ZL) eine sogenannte bilineare Transformation ist, ergeben sich - wie erwähnt - auch für Re(Z) und Im(Z)=konst Kreise (allerdings keine konzentrischen, die genauen Formeln finden Sie im deutschen Handbuch).